ZahlendreherDas Fussballturnier
Testen Sie Ihre mathematischen Fähigkeiten in der Folge 190 des Zahlendrehers.
Diese Woche geht es in einer Aufgabe um die Resultate eines Fussballturniers. Die zweite Aufgabe handelt von einer Zahl aus vielen Einsern. Viel Spass beim Knobeln – wir freuen uns auf Ihre Rückmeldungen.
Das Fussballturnier
Die 4 Teams A, B, C und D haben je einmal gegeneinander gespielt. Die Tabelle mit den Punkten und Toren sieht so aus:
Rekonstruiere alle Ergebnisse der einzelnen Spiele.
Die Einserzahl
In einer natürlichen Zahl A ändert man die Reihenfolge der Ziffern und bekommt die Zahl B. Es
ist bekannt, dass A – B = 111 . . . 11 ergibt (eine Zahl mit N Einsern).
Was ist der kleinste mögliche Wert für N?
Lösungen, frühere Folgen und Quelle der Aufgaben
Die Aufgaben liefern Ihnen Anna Beliakova, Universität Zürich, und Dmitrij Nikolenkov, Kantonsschule Trogen, unterstützt von NCCR Swiss MAP.
Die Folge von letzter Woche gibt es hier. Die Auflösung finden Sie kommenden Donnerstag in unserem Lösungsartikel. Wenn Sie Tipps für Ihre Miträtsler haben, teilen Sie sie gern unten. Sehen Sie aber bitte von der Auflösung ab.
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Aufgabe 1: Die beiden Remis-Spiele von C sind nur mit B und D möglich. Das verbleibende dritte Spiel von C kann deshalb nur eine Niederlage gegen A sein (da C ohne Sieg), und zwar mit einem 1:2. Damit enden die drei Spiele von A mit 1:0, 2:0 und 2:1, und die Anzahl Tore der Spiele C:B bzw C:D beträgt 1:1 bzw 3:3. Usw.
Aufgabe 2: Damit der Rest von A nach Subtraktion von 111…111 noch aus denselben Ziffern besteht, muss A alle Ziffern von 0 bis 9 beinhalten, d.h. 10-stellig sein. Wird von einem solchen A eine N-stellige Zahl aus Einsern subtrahiert, so ergibt sich B mit 10 umgestellten Ziffern nur für N = 9. Dies entspricht der Regel, dass generell die Differenz zwischen zwei natürlichen Zahlen mit denselben, aber umgestellten Ziffern, ganzzahlig durch 9 teilbar ist, bzw. eine Quersumme von 9 aufweist. Die gesuchte Zahl aus Einsen muss muss deshalb auch diese Quersumme aufweisen.