Aufgabe 1: Das vergessene Multiplikationszeichen
Die ursprünglichen Zahlen waren 143 und 143.
Es seien x und y die gesuchten Zahlen. Dann gilt
1000x + y = 7x·y
1000+y/x = 7x
Da y/x < 10, gilt für y die Begrenzung 1000 < 7y < 1010. Also ist y = 143 oder y = 144.
Die erste Möglichkeit liefert x = 143 , die zweite x = 18. Aber x muss dreistellig sein. D.h. x = y = 143.
Aufgabe 2: Die neunstellige Zahl
306306000
Da N durch 2 und durch 5 teilbar ist, muss B = 0 sein. D.h. N = A0CA0C000 = A0C ·1001· 1000.
1001 = 7 · 11 · 13 und 1000 = 2^3 · 5^3, also haben wir die Teilbarkeit durch 1,2,4,5,7,8,11,13 und 14.
N ist durch 9 teilbar, d.h. 2A + 2C müssen auch durch 9 teilbar sein, also A + C = 9.
Da N durch 16 teilbar ist, muss A0C gerade sein, also ist C gerade.
Es gibt vier Möglichkeiten für (A, C) = {(1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2)}. Die zweite Möglichkeit liefert eine Zahl, die durch 17 teilbar ist. Also A = 3, B = 0, C = 6 und N = 306306000.
