Aufgabe 1: Der grosse Rest
Lösung: a) 1·2·3·...·9·10 – 1; b) 599.
a) Multipliziert man alle Zahlen von 2 bis 10 und subtrahiert 1, werden die Reste bei der Division durch 2, 3, 4, etc, 10 immer 1, 2, 3, etc, 9 ergeben.
b) Die Reste müssen folgende Werte haben:
durch 2 -> Rest 1
durch 3 -> Rest 2
durch 6 -> Rest 5
durch 8 -> Rest 7
durch 10 -> Rest 9
Daraus folgt, dass die Zahl die Form N = 120k – 1 haben muss. Durch testen findet man k = 5, und die gesuchte Zahl ist 120 · 5 – 1 = 599.
Aufgabe 2: Summe und Differenz
Lösung; Zum Beispiel 168, 170, 171, 172, 174, 180
Für ZWEI Zahlen funktioniert es relativ einfach: {1, 2}.
Für DREI Zahlen kann man die Menge: {2, 3, 4} nehmen.
Allgemein: sollte es für {a1, a2, . . . , an} funktionieren, bildet man die nächste Menge aus n + 1 Zahlen so:
A=a1 ·a2 · ··· · an, A+a1, A+a2, ... , A+an
Für jede Zahl ai gilt: Die SUMME A+A+ai =2A+ai ist durch ai teilbar und für jedes Paar ai, aj ist die SUMME 2A + ai + aj durch ai – aj teilbar, da im ersten Summand ein Faktor
2aj = (ai + aj) (ai – aj)
vorkommt. Die Konstruktion lässt sich also fortsetzen:
{1,2} -> {2,3,4} -> {24,26,27,28} -> ...