Wann ist Mathematik schön?

Schöne Körper, schöne Gedanken: Täglich beantworten Philosophen und Philosophinnen in unserer Sommerserie Fragen zur Schönheit.

Nicht immer schön: Mathematik im Unterricht.

Nicht immer schön: Mathematik im Unterricht. Bild: Christian Beutler/Keystone

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Die Mathematik geniesst keinen besonders guten Ruf. Sie gilt als wenig zugänglich, schwierig und trocken. Und doch wird ihr manchmal eine wichtige positive Eigenschaft zugeschrieben: die Schönheit. Aber kann Mathematik wirklich schön sein? Und wenn ja, unter welchen Bedingungen ist sie es?

Wer über Schönheit in der Mathematik nachdenkt, stösst schnell auf ein Problem. Denn vieles, was wir schön nennen, ist sinnlich wahrnehmbar. Schön ist die Bergkulisse vor dem See oder ein Streichquartett von Mozart. Schön heisst eben meist: schön anzusehen oder schön anzuhören. Die Mathematik hingegen rührt nicht die Sinne. Denn ihre Gegenstände entziehen sich dem menschlichen Blick. Zahlen und andere Objekte, mit denen sich die Mathematik beschäftigt, wie Vektoren, Matrizen oder Algebren, sind nicht konkret fassbar, sondern abstrakt. Wie aber kann die Mathematik schön sein, wenn sie nicht die Sinne anspricht?

Manchmal rührt die Mathematik unsere Sinne wenigstens indirekt. Das ist dann der Fall, wenn sie sich in sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen spiegelt, in ihnen dargestellt wird und darin in Erscheinung tritt. Nehmen wir etwa an, ich wollte ein rechteckiges Bild malen. Doch welches Format soll das Bild haben, wie soll sich seine Breite zur Höhe verhalten? In der Kunstgeschichte wurde diese Frage oft mithilfe des Goldenen Schnitts beantwortet. Die Grundidee lautet, dass sich Breite und Höhe so zueinander verhalten sollten wie ihre Summe zur grösseren von beiden. Dieser Zusammenhang lässt sich mit einer einfachen mathematischen Formel ausdrücken, und wenn man diese etwas umformt, erhält man eine bestimmte Zahl. Stehen Breite und Höhe in diesem Verhältnis, dann gelten die Bildmasse als besonders harmonisch.

Noch sinnfälliger wird die Mathematik in schönen Ornamenten, die auf geometrischen Mustern beruhen und zum Beispiel Kreise und Dreiecke nach bestimmten Regeln kombinieren. Fensterrosen aus gotischen Kathedralen sind gute Beispiele dafür. Aber wie genau wird hier die eigentlich so wenig greifbare Mathematik schön? Alle sinnlich wahrnehmbaren Gegenstände, natürliche wie Kunstprodukte, haben eine Form, und diese lässt sich gut mithilfe der Mathematik beschreiben. Die Form einer Vase ist zum Beispiel ihre Gestalt, und diese lässt sich mithilfe der Geometrie darstellen.

Ornamente in der Cathedral of St. John the Divine in New York. Bild: Keystone/Seth Wenig

Auch Musikstücke besitzen eine Form, die sich daraus ergibt, wie sie aus Teilen aufgebaut sind. Ein Menuettsatz einer klassischen Symphonie besteht etwa aus drei Teilen, von denen der erste und der dritte identisch sind (ABA). Die Zahl 3 erfasst also wichtige Formaspekte eines Menuetts. Nun ist natürlich nicht jede Form schön. Es fragt sich daher, unter welchen Bedingungen eine Form schön ist. Weil die Mathematik dazu verwendet werden kann, Formen zu beschreiben, können wir hoffen, die Antwort in mathematischen Begriffen zu formulieren.

Vielleicht gibt es sogar eine mathematische Grundidee, die der Schönheit von sinnlich wahrnehmbaren Gegenständen zugrunde liegt. In diesem Sinne wird manchmal behauptet, dass Schönheit auf Symmetrie beruht. Dabei ist Symmetrie ein Grundbegriff der Mathematik. In der Geometrie nennt man eine Figur achsensymmetrisch, wenn sie aus zwei Hälften besteht, von denen die eine ein Spiegelbild der anderen ist. Viele Barockschlösser sind achsensymmetrisch aufgebaut.

Wenn ganz links an der Fassade ein Turm ist, dann befindet sich ganz rechts als Spiegelbild ein zweiter Turm. Dadurch entsteht eine Harmonie, eine Balance, die wir schön finden. Die Symmetrie spielt nicht nur in der Geometrie eine wichtige Rolle. So können auch Funktionen und Gleichungen symmetrisch sein. In den Naturwissenschaften verwendet man nun mathematische Gleichungen, um Naturgesetze auszudrücken.

Erstaunlicherweise weisen die meisten Naturgesetze in dieser Form viele Symmetrien auf. Darum hört man manchmal, die Natur sei selbst in ihren grundlegenden Strukturen schön. Ist Schönheit also Symmetrie? Oder Regelmässigkeit, die sich in einer kosmischen Sphärenharmonie findet? Das ist an sich nicht falsch, aber allein zu schön, um wahr zu sein. Denn blosse Symmetrie kann ziemlich langweilig sein. Auch so manches ganz funktional gebaute Haus ist symmetrisch, ohne besonders schön zu sein. Umgekehrt hat gerade die Mathematik Bilder hervorgebracht, die zwar als atemberaubend schön beschrieben wurden, aber nicht besonders symmetrisch sind. Ein gutes Beispiel ist die Darstellung der sogenannten Mandelbrot-Menge. Wir sehen eine Figur, die man gerne als Apfelmännchen beschreibt. Auf dem Rand des Apfelmännchens finden sich ab und zu kleine Apfelmännchen, auf denen wieder Apfelmännchen sitzen.

Dabei gibt es Selbstähnlichkeiten, d. h. die Strukturen, die wir auf bestimmten Skalen, sagen wir von ein paar Metern, sehen, wiederholen sich auf anderen Skalen, etwa von Zentimetern. Symmetrie oder auch Regelmässigkeit allein scheint also nicht der Inbegriff schöner Form zu sein. Vielleicht hat Immanuel Kant das Wesen der Schönheit besser auf den Punkt gebracht, als er sagte, dass schöne Gegenstände unsere Erkenntnisfähigkeiten zu einem Spiel anregen. Ein schönes Muster wie etwa in der Mandelbrot-Menge fasziniert uns, weil es Verstand und Einbildungskraft zu tun gibt.

Symmetrisch schön: Die Pyramide des Pariser Museums Louvre. Bild: Keystone/Christophe Ena

Unsere Überlegungen haben aber noch einen Schönheitsfehler. Denn als schön haben sich ja bisher nur die Darstellungen mathematischer Objekte oder Zusammenhänge erwiesen. Doch können wir deshalb sagen, dass die Mathematik mit ihren Objekten wie Zahlen und Vektoren selbst schön ist? Ich denke schon, dass auch die Mathematik selbst schön sein kann. Schön sind dabei freilich nicht ihre einfachen Objekte wie etwa Zahlen, sondern vielmehr die Zusammenhänge zwischen solchen Gegenständen. Zahlen, aber auch andere mathematische Objekte können Konfigurationen bilden, die Eigenschaften haben, die jenen ähneln, welche für die sinnliche Schönheit mitverantwortlich sind.

Wir haben ja bereits gesehen, dass nicht nur geometrische Gebilde, sondern auch Funktionen symmetrisch sein können. Und die Verhältnisse, in denen zum Beispiel die Zahlen in einer Zahlenreihe wie der berühmten Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8) zueinander stehen, können unsere kognitiven Fähigkeiten zum Spielen bringen, wie das der Anblick eines Barockschlosses tut. Auch ein mathematischer Beweis kann schön sein, wenn er in eleganter Weise mathematische Gegenstände miteinander verknüpft, sodass ein neuer Zusammenhang sichtbar wird. Am schönsten wird die Mathematik wohl dort, wo sich plötzlich Beziehungen zwischen weit entfernten Gebieten der Mathematik auftun.

So gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Folge. In solchen Zusammenhängen stellt sich ein Teil der Mathematik in einem anderen dar. Wir können daher sagen, dass komplexe mathematische Gegenstände selbst mathematische Formen haben. Und wenn sinnlich wahrnehmbare Gegenstände wegen ihrer mathematisch fassbaren Formen schön sein können, dann muss das wohl auch für mathematische Gegenstände gelten, die solche Formen aufweisen.

Erstellt: 28.07.2016, 09:42 Uhr

Die Sommerserie

Wie beeinflussen ästhetische Fragen das Leben? Wann gefällt uns etwas? Werden wir unvernünftig, wenn es um schöne Dinge geht?

In unserer Sommerserie beschäftigen sich Philosophen mit dem Thema Schönheit. Zwischen dem 18. und dem 27. Juli lesen Sie auf Tagesanzeiger.ch/Newsnet werktäglich einen Text hiesiger Philosophen dazu. Die Fragen stammen teils von Lesern, teils von der Kulturredaktion, teils von den Autoren selber.

Die Serie ist in einer Kooperation mit dem Schweizer Onlineportal für Philosophie, Philosophie.ch, entstanden. Das Portal hat kostenlose Dossiers zu grossen, aber auch alltäglichen Themen erstellt – so etwa zu Mensch, Gesundheit oder Zukunft. (lsch)

Prof. Dr. Dr. Claus Beisbart hat Mathematik, Physik und Philosophie studiert. Seit 2012 lehrt er an der Universität Bern Wissenschaftsphilosophie. Seine Hauptinteressen gelten Wahrscheinlichkeiten, Erkenntnisproblemen der modernen Physik und den Grundlagen der Ethik.

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